6月是高考季，也是畢業(yè)季。在這個(gè)仲夏之際，高考考生通過(guò)填報(bào)志愿選擇將要入讀的專業(yè)，高校畢業(yè)生（從本科生到碩博士研究生）通過(guò)投遞簡(jiǎn)歷向招聘者介紹所修專業(yè)，以及所掌握的專業(yè)知識(shí)和技能。
什么是專業(yè)，或者說(shuō)一門(mén)學(xué)科是什么？
在19世紀(jì)末20世紀(jì)初，現(xiàn)代意義上的諸多學(xué)科紛紛誕生，知識(shí)的古典時(shí)期也就此結(jié)束。研究對(duì)象、方法論和基本假設(shè)得到重新界定。自此，專業(yè)化成為諸學(xué)科最顯著的特征之一。讓學(xué)生接受一門(mén)學(xué)科的專業(yè)訓(xùn)練，以一技之長(zhǎng)謀生成為高校培養(yǎng)學(xué)生的基本內(nèi)容。我們可以說(shuō)，每一門(mén)學(xué)科都提供了專業(yè)的知識(shí)和技能。我們也可以說(shuō)，每一門(mén)學(xué)科都提供了一種看世界的方法，它們塑造了我們的知識(shí)結(jié)構(gòu)，也可能改變了我們的認(rèn)知視角。其發(fā)生的具體過(guò)程，當(dāng)然因?qū)W科因個(gè)人而異。
這些年，從校園、勞動(dòng)力市場(chǎng)到各大網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，大家都在熱議什么專業(yè)冷門(mén)、什么專業(yè)有前景。在圖書(shū)市場(chǎng)上，并不乏志愿填報(bào)指南，以及各個(gè)學(xué)科的入門(mén)書(shū)籍。我們希望提供一種超越基礎(chǔ)介紹的、更富有情感的學(xué)科敘事，也希望借此呈現(xiàn)出關(guān)于學(xué)科教育的多元認(rèn)知方式。
我們策劃“我和我的學(xué)科”專題，第一期由文學(xué)、數(shù)學(xué)、歷史學(xué)、社會(huì)學(xué)、管理學(xué)等學(xué)科的高校教師，以第一人稱講述“我和我的學(xué)科”。他們既談這個(gè)學(xué)科是什么，也談自己作為一個(gè)個(gè)體與學(xué)科的關(guān)系，當(dāng)然也包括他們?cè)诮虒W(xué)中產(chǎn)生的對(duì)于本學(xué)科過(guò)去與未來(lái)的思考。
本篇為數(shù)學(xué)家丘成桐談他的數(shù)學(xué)之路，以及他心中數(shù)學(xué)的最高目標(biāo)。
本文內(nèi)容出自新京報(bào)·書(shū)評(píng)周刊6月20日專題《我和我的學(xué)科》的B04-B05版。
B01「主題」我和我的學(xué)科
B02-B03「主題」?jié)h語(yǔ)言文學(xué) 相信同道與先賢
B04-B05「主題」數(shù)學(xué) 最高目標(biāo)無(wú)過(guò)于追求真與美
B06-B07「主題」歷史學(xué) 立足過(guò)去，面向未來(lái)
B08-B09「主題」社會(huì)學(xué) 開(kāi)啟“社會(huì)”之門(mén)的鑰匙
B10-B11「主題」管理學(xué) 探求眾人之事與公共議題的奧妙
B12「文學(xué)」《夜雨修書(shū)》“今夜細(xì)雨如織，我正好給你復(fù)信”
撰文丨丘成桐
從古希臘幾何到現(xiàn)代數(shù)論，數(shù)學(xué)不只是一種精密的工具，更體現(xiàn)了人類對(duì)真與美的不懈追求。在數(shù)學(xué)家丘成桐看來(lái)，真正偉大的科學(xué)進(jìn)步是由宏觀視角驅(qū)動(dòng)的，數(shù)學(xué)并非一門(mén)孤立的學(xué)科，而是一項(xiàng)與更宏大的哲學(xué)框架密不可分的探索。阿基米德、牛頓、費(fèi)馬、高斯、黎曼、麥克斯韋、愛(ài)因斯坦，這些卓越不凡的數(shù)學(xué)家也是人類歷史上最深邃的思想者。
在本文中，丘成桐從自己的成長(zhǎng)經(jīng)歷談起，分享了自己對(duì)數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的看法以及做學(xué)問(wèn)的人生感悟。
丘成桐。當(dāng)代具有影響力的數(shù)學(xué)家之一，哈佛大學(xué)教授、清華大學(xué)教授，北京雁棲湖應(yīng)用數(shù)學(xué)研究院院長(zhǎng)。美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士、美國(guó)藝術(shù)與科學(xué)院院士、中國(guó)科學(xué)院外籍院士。榮獲菲爾茲獎(jiǎng)、沃爾夫獎(jiǎng)、克拉福德獎(jiǎng)、美國(guó)國(guó)家科學(xué)獎(jiǎng)、馬塞爾·格羅斯曼獎(jiǎng)、中華人民共和國(guó)國(guó)際科學(xué)技術(shù)合作獎(jiǎng)等大獎(jiǎng)。他成功解決了許多著名的數(shù)學(xué)難題，其研究深刻變革并極大擴(kuò)展了偏微分方程在微分幾何中的作用，影響遍及拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何、廣義相對(duì)論等數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域。
我的數(shù)學(xué)之路
我在中國(guó)香港的郊區(qū)——元朗和沙田——長(zhǎng)大。那里沒(méi)有電，也沒(méi)有自來(lái)水。小時(shí)候，我就在河中洗澡。我的家中有8個(gè)兄弟姐妹，食物少得可憐。5歲時(shí)，我參加某著名小學(xué)的入學(xué)試，結(jié)果沒(méi)有考上，原因是用了錯(cuò)誤的記號(hào)，如把57反寫(xiě)成75，把69反寫(xiě)成96等。
我只能上一所小小的鄉(xiāng)村學(xué)校。那里有很多來(lái)自農(nóng)村的粗野小孩。受這些小孩的威嚇，加上老師處理不善，不到一年，我便身患重病。在家中養(yǎng)病的半年里，我思索著如何跟同學(xué)和老師相處。升上小六時(shí)，我已經(jīng)是一群小孩的首領(lǐng)，帶著他們?cè)诮诸^亂闖。
家父是一位教授。他教了我不少中國(guó)文學(xué)。可是，他并不知道我曾曠課好一段日子（或者這是因?yàn)槲以诩抑醒?guī)蹈矩，他教授的詩(shī)詞我也能倒背如流吧）。逃學(xué)的原因是老師不怎么教學(xué)，我在學(xué)校悶得發(fā)慌，不久連上街也覺(jué)得無(wú)聊了。當(dāng)時(shí)，香港有統(tǒng)一的升中試。我考得并不好，但幸好分?jǐn)?shù)落在分界線上。
港英政府允許這些分?jǐn)?shù)落在分界線上的學(xué)生申請(qǐng)私立中學(xué)，并提供學(xué)費(fèi)。我進(jìn)入了培正中學(xué)。培正是一所很好的中學(xué)。我中學(xué)生涯的第一年乏善可陳。我的成績(jī)不大好，老師常常對(duì)我很生氣。大概我剛從鄉(xiāng)村出來(lái)，“野性”未改吧。我熱衷于養(yǎng)蠶，養(yǎng)小魚(yú)，到山上去捉各種小動(dòng)物。沙田的風(fēng)景美麗清新，在大自然的懷抱里，倒是自得其趣，我到如今還不能忘懷。
在培正的第二年，我多言多動(dòng)，老師要記我小過(guò)。她是我的班主任，責(zé)任心強(qiáng)，誠(chéng)然是為我好。當(dāng)她知道家父是位教授，卻拿著微薄的薪酬后，大為震動(dòng)。此后，在她的悉心栽培下，我在課堂上規(guī)矩多了。就在這一年，我們開(kāi)始學(xué)習(xí)平面幾何。
同學(xué)們對(duì)抽象思維都不習(xí)慣。由于在家中時(shí)常聽(tīng)父親談?wù)撜軐W(xué)，對(duì)利用公理進(jìn)行推導(dǎo)的做法，我一點(diǎn)也不覺(jué)得陌生。學(xué)習(xí)幾何后，我對(duì)父親的講話又多明白了幾分。利用簡(jiǎn)單的公理，卻能推導(dǎo)出美妙的定理，這實(shí)在令人神往。
對(duì)幾何的狂熱，提高了我對(duì)數(shù)學(xué)（包括代數(shù)）的鑒賞能力。當(dāng)你喜歡某科目時(shí)，所有與之有關(guān)的東西都會(huì)變得淺易。我對(duì)歷史也甚有興趣。它培養(yǎng)我對(duì)事物要整體觀看，不斷思考事件是如何發(fā)生的，到底是什么緣故，以及將來(lái)會(huì)如何。
《我的教育觀》
作者：（美）丘成桐
版本：中信出版社2025年2月
就在這時(shí)，父親完成了他的《西洋哲學(xué)史》。他跟學(xué)生談話，總是說(shuō)應(yīng)整體地去看歷史。這種觀念深深地影響了我。這種想法，在往后的日子中，指引我去尋找研究項(xiàng)目。父親的書(shū)對(duì)我有很深的影響。書(shū)中第一頁(yè)的引言《文心雕龍·諸子篇》中說(shuō)：
身與時(shí)舛，志共道申，標(biāo)心于萬(wàn)古之上，而送懷于千載之下。
這是何等的胸襟，與古人神交，而能送懷于后世，確實(shí)是一位學(xué)者應(yīng)有的態(tài)度。
哲學(xué)史的目的有三：一曰求因，哲學(xué)思潮其源甚多，必先上溯以求之；二曰明變，往昔哲學(xué)思想交纏糾緒，故重理其脈絡(luò)，是為要?jiǎng)?wù)；三曰評(píng)論，所有思潮及其流派，皆一一評(píng)論，作警策精辟之言。這三點(diǎn)和自然科學(xué)的研究有密切的關(guān)系，再加上創(chuàng)新，便可以概括為研究的方法了。
我14歲時(shí)，父親去世了。這或許是我一生中最大的打擊。在一段頗長(zhǎng)的日子里，對(duì)父親離開(kāi)了我和家人的事實(shí)，我都難以置信。家中經(jīng)濟(jì)頓入困境，我們面臨輟學(xué)。幸得母親苦心操持，以及先父舊交弟子的援手，我們才幸免淪落。
家中劇變，令我更加成熟堅(jiān)強(qiáng)。困境中人情冷暖，父親生前的教導(dǎo)，竟變得真實(shí)起來(lái)。以前誦讀的詩(shī)詞古文，有了進(jìn)一步的體會(huì)。我花了整整半年，研習(xí)古典文學(xué)和中國(guó)歷史，借此撫平繃緊的心弦。典麗的詩(shī)詞教人欣賞自然之美，排除了世俗功利的思想。
我閱讀了大量數(shù)學(xué)書(shū)，并考慮書(shū)中的難題。當(dāng)這些難題都解決以后，我開(kāi)始創(chuàng)造自己認(rèn)為有挑戰(zhàn)性的題目。此后，由個(gè)人去創(chuàng)造問(wèn)題變成我研究事業(yè)中最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。學(xué)校的課本已經(jīng)不能滿足我的需求了。我跑到圖書(shū)館、書(shū)店去看書(shū)。我花了許多時(shí)間打書(shū)釘，閱讀那些買不起的書(shū)。我讀了華羅庚先生寫(xiě)的很多參考書(shū)，無(wú)論是在分析還是在數(shù)論上的討論，它們都漂亮極了。我也看了很多幫助課堂解題的書(shū)，例如陳明哲寫(xiě)的一些小冊(cè)子。一般來(lái)說(shuō)，我會(huì)比課程早一個(gè)學(xué)期做完所有的習(xí)題，所以聽(tīng)數(shù)學(xué)課是一種享受。
從15歲起，我開(kāi)始給低年級(jí)學(xué)生當(dāng)家教，以幫補(bǔ)家計(jì)。我找到一些巧妙的方法，使成績(jī)落后的孩子搖身變成優(yōu)等生，為此我有點(diǎn)飄飄然。我積累了教導(dǎo)年輕人的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也體會(huì)到教學(xué)相長(zhǎng)的道理。
我們的數(shù)學(xué)老師十分好。他教授的內(nèi)容比課程要求的更加艱深，但我覺(jué)得絲毫不費(fèi)氣力，其實(shí)我的同學(xué)們雖然叫苦，但總的來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)都不錯(cuò)，這叫作“取法乎上，僅得其中”。近代數(shù)學(xué)的教學(xué)方法，恐怕適得其反，“取法乎中，僅得其下”。
當(dāng)時(shí)我們的物理老師不太行，學(xué)生們對(duì)此不無(wú)失望。中學(xué)時(shí)養(yǎng)成不了物理上的基本直觀，至今于心還有戚戚焉。中文老師卻是無(wú)懈可擊。他是我的父執(zhí)輩。他教導(dǎo)我們思想要不落俗套。
中文老師說(shuō)，思維要自出機(jī)杼，讀好書(shū)之余，爛書(shū)也無(wú)妨一讀，以資比較。因此我什么書(shū)都啃，他的這種觀點(diǎn)，就是放諸我日后的科學(xué)生涯中，也有其可取之處。中文老師問(wèn)的問(wèn)題很有意思，他出過(guò)一個(gè)作文題叫“豬的哲學(xué)觀”。于是大伙兒興高采烈，自由發(fā)揮。在班里，我并非名列前茅，數(shù)學(xué)科的等級(jí)也不見(jiàn)得最高。但我比同班諸子想得更深，書(shū)也讀得更多。
1966年，我進(jìn)入香港中文大學(xué)。雖然對(duì)歷史抱著濃厚的興趣，但我還是選擇了數(shù)學(xué)作為我的事業(yè)。
就在這時(shí)，中學(xué)時(shí)念的高等數(shù)學(xué)漸漸消化。剛開(kāi)始時(shí)，我還不大懂，但后來(lái)一下子全都懂了。我比班中同輩高明不少。
大學(xué)的數(shù)學(xué)使我大開(kāi)眼界。連最基本的實(shí)數(shù)系統(tǒng)都可以嚴(yán)格地建立起來(lái)，這著實(shí)令人興奮萬(wàn)分。當(dāng)我了解數(shù)學(xué)是如此建構(gòu)后，就寫(xiě)信給教授，表達(dá)我的喜悅之情。這是本人賞析數(shù)學(xué)之始。
一位剛從加州大學(xué)伯克利分校（UCB）畢業(yè)的博士來(lái)了香港，他名叫斯蒂芬·薩拉夫（Ste?phen Salaff）。他對(duì)我大為贊賞，我們合寫(xiě)了一本有關(guān)常微分方程的書(shū)。
另外一位老師布羅迪（Bro?dy）來(lái)自普林斯頓，他有一套獨(dú)特的教學(xué)法。他找來(lái)一本高深的數(shù)學(xué)著作，然后要求學(xué)生在書(shū)中找尋錯(cuò)誤，并提出改正的方法。這是讓我們不要盲目依賴書(shū)本的良方，同時(shí)也訓(xùn)練了我對(duì)書(shū)本上的定理采取存疑的態(tài)度。我有時(shí)將某些定理推廣，并在課堂上說(shuō)出自己的想法，他聽(tīng)了很高興。
這些教導(dǎo)的重要性在于：培養(yǎng)獨(dú)立思考的習(xí)慣；在人前表達(dá)數(shù)學(xué)的時(shí)候，找出自己的弱點(diǎn)，與同學(xué)和老師一同切磋。這不論對(duì)我當(dāng)下做學(xué)問(wèn)還是對(duì)我日后的教學(xué)都十分重要。
數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義
接下來(lái)談的是數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義。歷代不少科學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)都有極高的評(píng)價(jià)，我們引一些物理學(xué)家的話作為例子。費(fèi)曼在《物理定律的本性》一書(shū)中說(shuō)：“我們所有的定律，每一條都由深?yuàn)W的數(shù)學(xué)中的純數(shù)學(xué)來(lái)敘述，為什么？我一點(diǎn)也不知道?！本S格納說(shuō)“：數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中有不合常理的威力?！贝魃f(shuō)：“物理科學(xué)史歷劫不變的一項(xiàng)因素，就是由數(shù)學(xué)想象力得來(lái)的關(guān)鍵貢獻(xiàn)?；A(chǔ)物理既然由高深的數(shù)學(xué)來(lái)表示，應(yīng)用物理、流體等自然界的一切現(xiàn)象，只要能得到成熟的了解，都可以用數(shù)學(xué)來(lái)描述?！睂?xiě)過(guò)《瓦爾登湖》的哲人梭羅也說(shuō)，有關(guān)真理最明晰、最美麗的陳述，最終必以數(shù)學(xué)形式展現(xiàn)。
其實(shí)數(shù)學(xué)家不僅從自然界中吸收養(yǎng)分，而且從社會(huì)科學(xué)和工程中得到啟示。人類心靈中由現(xiàn)象界啟示而呈現(xiàn)美的概論，只要能夠用嚴(yán)謹(jǐn)邏輯來(lái)處理的，都是數(shù)學(xué)家研究的對(duì)象。數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的不同之處是容許抽象，只要是美麗的，就足以主宰一切。數(shù)學(xué)和文學(xué)的不同之處是一切命題都可以由公認(rèn)的少數(shù)公理推出。數(shù)學(xué)正式成為系統(tǒng)性的科學(xué)始于古希臘的歐幾里得，他的《幾何原本》是不朽的名作。明末利瑪竇和徐光啟把它譯成中文，并指出：“十三卷中五百余題，一脈貫通，卷與卷，題與題相結(jié)倚，一先不可后，一后不可先，累累交承，漸次積累，終竟乃發(fā)奧微之義。”復(fù)雜深?yuàn)W的定理都可以由少數(shù)簡(jiǎn)明的公理推導(dǎo)，至此真與美得到確定的意義，水乳交融，再難分開(kāi)。值得指出的是，歐幾里得式的數(shù)學(xué)思維直接影響了牛頓在物理上三大定律的想法，牛頓的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》與《幾何原本》一脈相承。從愛(ài)因斯坦到現(xiàn)在的物理學(xué)家都希望完成統(tǒng)一場(chǎng)論，能用同一種原理來(lái)解釋宇宙間的一切力場(chǎng)。
《幾何原本》中文印刷版。
數(shù)學(xué)的真與美，數(shù)學(xué)家體會(huì)深刻。西爾維斯特說(shuō)：“它們揭露或闡明的概念世界、它們導(dǎo)致的對(duì)至美與秩序的沉思、它們各部分的和諧關(guān)聯(lián)，都是人類眼中數(shù)學(xué)最堅(jiān)實(shí)的根基?！睌?shù)學(xué)史家莫里斯·克萊因說(shuō)：“一個(gè)精彩巧妙的證明，精神上近乎一首詩(shī)。”當(dāng)數(shù)學(xué)家吸收了自然科學(xué)的精華，就用美和邏輯來(lái)引導(dǎo)，將想象力發(fā)揮得淋漓盡致，創(chuàng)造出連作者也驚嘆不已的命題。大數(shù)學(xué)家往往有宏偉的構(gòu)思，由美做引導(dǎo)，例如韋伊猜想促成了重整算數(shù)幾何的龐大計(jì)劃，將拓?fù)浜痛鷶?shù)幾何融入整數(shù)方程論。由格羅滕迪克和德利涅完成的韋伊猜想，可以說(shuō)是抽象方法的偉大勝利?；仡檾?shù)學(xué)的歷史，能夠?qū)讉€(gè)不同的重要觀念自然融合而得出的結(jié)果，都成為數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑。愛(ài)因斯坦將時(shí)間和空間的觀念融合，成為近百年來(lái)物理學(xué)的基石；三年前，安德魯·懷爾斯（A.Wiles）對(duì)自守形式和費(fèi)馬大定理的研究，更是動(dòng)人心魄。數(shù)學(xué)家不依賴自然科學(xué)的啟示而得出來(lái)的成就，令人驚異，這是因?yàn)閿?shù)字和空間本身就是大自然的一部分，它們的結(jié)構(gòu)也是宇宙結(jié)構(gòu)的一部分。然而，我們必須謹(jǐn)記，大自然的奧秘深不可測(cè)，不僅僅是數(shù)字和空間而已，它的完美無(wú)處不在，數(shù)學(xué)家不能也不應(yīng)該抗拒這種美。
捷克于2000年發(fā)行的紀(jì)念懷爾斯證明費(fèi)馬大定理的郵票。
20世紀(jì)物理學(xué)中的兩個(gè)最主要的發(fā)現(xiàn)——相對(duì)論和量子力學(xué)——對(duì)數(shù)學(xué)造成了極大的沖擊。廣義相對(duì)論使微分幾何學(xué)“言之有物”，黎曼幾何不再是抽象的紙上談兵。量子場(chǎng)論從一開(kāi)始就讓數(shù)學(xué)家迷惑不已，它在數(shù)學(xué)上的作用仿若魔術(shù)。例如，狄拉克方程在幾何上的應(yīng)用令人難以捉摸，然而，它又這么強(qiáng)而有力地影響著幾何的發(fā)展。超對(duì)稱是最近20年物理學(xué)家發(fā)展出來(lái)的觀念，無(wú)論是在實(shí)驗(yàn)還是理論上都頗為神秘，但借助超弦理論，數(shù)學(xué)家竟解決了一百多年來(lái)懸而未決的難題。超弦理論在數(shù)學(xué)上的真實(shí)性是無(wú)可置疑的，除非造化弄人，它在物理上也終會(huì)占一席位。
19世紀(jì)末數(shù)學(xué)公理化運(yùn)動(dòng)使數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性堅(jiān)如磐石，數(shù)學(xué)家便以為工具已備，以后的工作將無(wú)往而不利。20世紀(jì)初，希爾伯特以為任何數(shù)學(xué)都能用一套完整的公理推導(dǎo)出所有的命題。但好景不長(zhǎng)，哥德?tīng)栐?931年發(fā)表了著名論文《數(shù)學(xué)原理中的形式上不可斷定的命題及有關(guān)系統(tǒng)》，證明包含通常邏輯和數(shù)論的一個(gè)系統(tǒng)的無(wú)矛盾性是不能確立的。這表示希爾伯特的想法并非全面的，也表示科學(xué)不可能是萬(wàn)能的。然而，由自然界產(chǎn)生的問(wèn)題，我們還是相信希爾伯特的想法是基本正確的。
數(shù)學(xué)家因其稟賦各異，大致可分為下列三類：
一、創(chuàng)造理論的數(shù)學(xué)家。這些數(shù)學(xué)家工作的模式，又可粗分為七類。1.從蕓蕓現(xiàn)象中窺見(jiàn)共性，從而提煉出一套理論，能系統(tǒng)地解釋很多類似的問(wèn)題。2.把現(xiàn)存理論推廣或移植到其他結(jié)構(gòu)上。3.用比較方法尋求不同學(xué)科的共同之處而發(fā)展新的成果。4.為解釋新的數(shù)學(xué)現(xiàn)象而發(fā)展理論。5.為解決重要問(wèn)題而發(fā)展理論。6.新的定理被證明后，需要建立更深入的理論。7.在研究對(duì)象上賦予新的結(jié)構(gòu)。
二、從現(xiàn)象中找尋規(guī)律的數(shù)學(xué)家。這些數(shù)學(xué)家或從事數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，或在自然和社會(huì)現(xiàn)象中發(fā)掘值得研究的問(wèn)題，憑著經(jīng)驗(yàn)把其中精要抽出來(lái)，做有意義的猜想。
三、解決難題的數(shù)學(xué)家。所有數(shù)學(xué)理論必須能導(dǎo)致某些重要問(wèn)題的解決，否則這些理論便是空虛、無(wú)價(jià)值的。理論的重要性必須與其能解決問(wèn)題的重要性成正比。
數(shù)學(xué)家要承先啟后，解決難題是“承先”，進(jìn)一步發(fā)展理論、找尋新的問(wèn)題則是“啟后”。沒(méi)有新的問(wèn)題，數(shù)學(xué)便會(huì)死去。故此，“啟后”是我們數(shù)學(xué)家共同的使命。我們的最終目標(biāo)是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，將整個(gè)自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和工程學(xué)融合起來(lái)。
自從安德魯·懷爾斯1994年證明了費(fèi)馬大定理后，很多人都問(wèn)這有什么用。大家都覺(jué)得費(fèi)馬大定理的證明是劃時(shí)代的。它不僅解決了一個(gè)長(zhǎng)達(dá)350年的問(wèn)題，還使我們對(duì)有理數(shù)域上的橢圓曲線有了極深的了解；它是融合兩個(gè)數(shù)論的主流——自守形式和橢圓曲線——而迸發(fā)出來(lái)的火花。值得一提的是，最近十多年來(lái)，橢圓曲線在編碼理論中發(fā)展迅速，而編碼理論將會(huì)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中大派用場(chǎng)，其潛力不可估量。
做學(xué)問(wèn)需要哲學(xué)的指導(dǎo)
我從10歲起就聽(tīng)父親講哲學(xué)，里面有很多抽象的概念，他又常常說(shuō)要找規(guī)律。久而久之，我對(duì)抽象的觀念便比較容易接受了。數(shù)學(xué)里面也有很多抽象的觀念，我的同學(xué)對(duì)此感到困難，但對(duì)我來(lái)說(shuō)，那是很自然的事。從哲學(xué)的角度思考、尋找大自然中的規(guī)律，以及從宏觀的角度看問(wèn)題，這套思考方法我很早便養(yǎng)成了。我也在很早的時(shí)候，便從讀歷史中領(lǐng)悟到一種方法，那就是必須總結(jié)歷史教訓(xùn)，回望過(guò)去，放眼將來(lái)。所以在數(shù)學(xué)研究中，我非常重視大數(shù)學(xué)家的看法?？上Ш芏鄶?shù)學(xué)家不愿意這樣去做，他們忽視古代偉人的思想，其實(shí)就算三四百年前的偉大數(shù)學(xué)家，如費(fèi)馬、牛頓、歐拉等人，他們的思想仍然影響到今天。我們不去深究融匯他們的思想，這是很不幸的。我在求真書(shū)院花了很多氣力講數(shù)學(xué)史，就是這個(gè)緣故。我希望學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，讓他們曉得偉大數(shù)學(xué)家的想法是怎么來(lái)的，從而思考他們以后的路要怎么走，我在培養(yǎng)這種文化。很多學(xué)生因?yàn)閿?shù)學(xué)史無(wú)助于解題，也無(wú)功于考試，就不想學(xué)，但其實(shí)數(shù)學(xué)史最終會(huì)變得重要，只是短期內(nèi)看不到而已。要知道大學(xué)者的成功，都和他們善于學(xué)習(xí)前人有關(guān)。牛頓說(shuō)他是站在巨人的肩膀上，這是實(shí)實(shí)在在的。假如我們不了解巨人們想過(guò)什么、做過(guò)什么的話，我們能不能站在巨人的肩膀上，恐怕很成問(wèn)題。
我從小就聽(tīng)父親講哲學(xué)史，所以對(duì)哲學(xué)留下深刻的印象。哲學(xué)始終是一門(mén)指導(dǎo)科學(xué)的學(xué)科，從古希臘開(kāi)始，數(shù)學(xué)就是哲學(xué)的一部分。2600年以前，希臘數(shù)學(xué)的始祖首先都是哲學(xué)家，他們用哲學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展。在哲學(xué)出現(xiàn)以前，數(shù)學(xué)沒(méi)有辦法推進(jìn)，因?yàn)槿狈ν茖?dǎo)的方法。古希臘人提出了“三段論證”，使我們懂得如何用邏輯的方法推導(dǎo)定理，這些都是從哲學(xué)的看法開(kāi)始的。不只如此，哲學(xué)是一門(mén)很宏觀的學(xué)問(wèn)，它不單研究一個(gè)個(gè)小問(wèn)題，也研究哲學(xué)跟其他學(xué)科的關(guān)系，從這些關(guān)系中走出一條新的思路和方法。這一點(diǎn)對(duì)于數(shù)學(xué)家和理論物理學(xué)家都很重要。基本上，理論科學(xué)都與哲學(xué)有著密切的關(guān)系，能夠溝通融匯兩者，才能成為一個(gè)偉大的科學(xué)家，從古至今都是如此。當(dāng)年的阿基米德、牛頓、費(fèi)馬、高斯、黎曼、麥克斯韋、愛(ài)因斯坦，他們的成就都與哲學(xué)有很密切的關(guān)系。對(duì)于以科學(xué)的眼光看世界，他們有不同的哲學(xué)觀點(diǎn)。例如，牛頓說(shuō)時(shí)空是靜態(tài)的，人們就這種觀點(diǎn)辯論了很久。光是粒子還是波，這個(gè)問(wèn)題也從哲學(xué)的觀點(diǎn)有很多討論。他們從哲學(xué)的觀點(diǎn)討論時(shí)，也加上了很多重要的實(shí)驗(yàn)觀點(diǎn)。數(shù)學(xué)研究也包含許多哲學(xué)的看法。在代數(shù)幾何或者其他領(lǐng)域之中，存在很多不同的看法，微分幾何也是如此，種種不同的看法牽引著整個(gè)學(xué)科的發(fā)展。舉例來(lái)說(shuō)，我做的一個(gè)重要方向叫幾何分析，它是我跟一些朋友和學(xué)生發(fā)展出來(lái)的。幾何分析包含了很重要的哲學(xué)觀念，例如在研究幾何的時(shí)候，不能單用線性的看法，要多用非線性的觀點(diǎn)。這些基本上都是與哲學(xué)有關(guān)的，有些討論最初不見(jiàn)得跟數(shù)學(xué)有直接關(guān)系，但是到最后又跟數(shù)學(xué)產(chǎn)生了密切的聯(lián)系。數(shù)學(xué)的大發(fā)展也因此產(chǎn)生，每一次數(shù)學(xué)的跳躍總是伴隨著哲學(xué)觀點(diǎn)的變化。譬如在20世紀(jì)初期，幾何的研究主要是跟拓?fù)鋵W(xué)有關(guān)；到了20世紀(jì)中期，幾何跟非線性微分方程的關(guān)系變得密切，人們見(jiàn)證了里程碑式的發(fā)展，很多重要的問(wèn)題因而得到解決。這一點(diǎn)非常重要，每一位大數(shù)學(xué)家都有他獨(dú)特的對(duì)學(xué)問(wèn)的看法。
高斯。
我在普林斯頓高等研究院的時(shí)候，蕓蕓高手中有一個(gè)叫安德烈·韋伊（André Weil）。這位老先生對(duì)數(shù)學(xué)有很深入、很宏大的看法，我的導(dǎo)師陳省身就受他的影響，開(kāi)始研究纖維叢，提出了“陳氏示性類”的概念。
1980年，我在普林斯頓高等研究院的同事羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands）是數(shù)論方面的大家。他提出的朗蘭茲綱領(lǐng)（Langlands Program）很有名，從表示論來(lái)看數(shù)學(xué)，來(lái)看數(shù)論。朗蘭茲綱領(lǐng)提出了差不多有50年，它是一個(gè)看法，而不是一個(gè)數(shù)學(xué)定理。這個(gè)看法影響到今天，產(chǎn)生了一系列重要的發(fā)展，如費(fèi)馬大定理的解決，就跟朗蘭茲的看法有著密切的關(guān)系。所以這是一個(gè)宏大的構(gòu)想，也是一個(gè)宏大的哲學(xué)思想。這些思想是數(shù)學(xué)上的，但也受到物理和其他學(xué)科的影響。
表示論利用線性變換和矩陣來(lái)研究抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)。
當(dāng)年，笛卡兒是哲學(xué)家，也對(duì)數(shù)學(xué)有很重要的貢獻(xiàn)。在他之后還有萊布尼茨，他和牛頓獨(dú)立地創(chuàng)造了微積分，但他最重要的貢獻(xiàn)還是在哲學(xué)上。柏拉圖也是數(shù)學(xué)家，同時(shí)是偉大的哲學(xué)家。所以，哲學(xué)跟理論科學(xué)是分不開(kāi)的。沒(méi)有哲學(xué)的指導(dǎo)，我們走的方向可能會(huì)很狹窄，只能夠跟在人家后面。研究科學(xué)要有宏觀的看法，而宏觀的看法主要是由哲學(xué)來(lái)開(kāi)拓的。
我之前整理出版了父親的哲學(xué)著作《丘鎮(zhèn)英先生哲學(xué)史講稿》。書(shū)里面講得很清楚，我們要弄懂哲學(xué)思想的起源、變化，以及如何批判它，這三點(diǎn)對(duì)于做學(xué)問(wèn)非常重要。在這本書(shū)的開(kāi)篇，父親引用了《文心雕龍·諸子篇》中的一句話，我至今都記得很清楚：
標(biāo)心于萬(wàn)古之上，而送懷于千載之下。
“標(biāo)心于萬(wàn)古之上”是說(shuō)，我們的胸懷要像古代圣賢一樣。這里的圣賢既可以是孔子和孟子，又可以是我剛才提到的高斯和黎曼這些大數(shù)學(xué)家?！八蛻延谇лd之下”，是說(shuō)我們的抱負(fù)要遠(yuǎn)大，志在留名后世。
父親還寫(xiě)了幾副我印象非常深刻的對(duì)聯(lián)，其中一副是：
尋孔顏樂(lè)處，拓萬(wàn)古心胸。
“尋孔顏樂(lè)處”即繼承孔子和顏淵做學(xué)問(wèn)的樂(lè)趣?？鬃雍皖仠Y都經(jīng)歷過(guò)窮苦日子，孔子還帶了一大批優(yōu)秀的學(xué)生。他們能體會(huì)做學(xué)問(wèn)的大樂(lè)趣?！巴厝f(wàn)古心胸”是講心胸要寬廣，看得高遠(yuǎn)。
這幾句話對(duì)我一輩子產(chǎn)生了很重要的影響。在面對(duì)困難的時(shí)候，它激發(fā)了我的斗志，讓我無(wú)所畏懼。我不追求闊氣的大房子以及豪華的裝潢。如果需要，我有很多非常有錢的朋友愿意幫忙，但我并不特別在乎這些事情。我活了七十多年，感到很舒適，能夠自由自在做自己的學(xué)問(wèn)，帶領(lǐng)一批才華橫溢的學(xué)生，這實(shí)在是美妙的人生經(jīng)驗(yàn)。尤其是我在少年班見(jiàn)到了一些初中生，他們初露頭角，前途無(wú)限。我很喜歡和年輕人在一起，希望他們能夠迅速成長(zhǎng)，成為光芒萬(wàn)丈的學(xué)者。
本文由中信出版社授權(quán)，摘自《我的教育觀》各章節(jié)并重新整理（有刪節(jié)），經(jīng)作者本人審定后刊發(fā)。
作者/丘成桐
編輯/李永博 西西 宮子
校對(duì)/薛京寧
